关于与 Erdős-Turán 猜想相关的表示函数的若干性质

对于集合 $A\subseteq \mathbb{N}$ 和 $n\in \mathbb{N}$，令 $R_A(n)$ 表示满足 $a+a'=n$ 的有序对 $(a,a')\in A\times A$ 的个数。著名的 Erdős-Turán 猜想断言，若对所有充分大的整数 $n$ 都有 $R_A(n)\ge 1$，则表示函数 $R_A(n)$ 不可能是有界的。对于任意正整数 $m$，Ruzsa 数 $R_m$ 定义为最小的正整数 $r$，使得存在集合 $A\subseteq \mathbb{Z}_m$ 对所有 $n\in \mathbb{Z}_m$ 满足 $1\le R_A(n)\le r$。2008 年，Chen 证明了对所有正整数 $m$ 有 $R_m\le 288$。最近作者们证明了对所有整数 $m\ge 36$ 有 $R_m\ge 6$。本文证明：若 $A\subseteq \mathbb{Z}_m$ 对所有 $n\in \mathbb{Z}_m$ 满足 $R_A(n)\le 5$，则 $|\{g:g\in \mathbb{Z}_m, R_A(g)=0\}|\ge \frac{1}{4}m-\sqrt{5m}$。这改进了 Li 和 Chen 的近期结果。我们还给出了 $i=2,4$ 时 $|\{g:g\in \mathbb{Z}_m, R_A(g)=i\}|$ 的上界。