$\mathrm{L}^p$-空间上正等距群表示的分解

设 $G$ 为一个 Polish 局部紧群，作用于带有 $G$-不变概率测度 $\mu$ 的 Polish 空间 $X$。我们将关于 $\mu$ 的积分分解为关于 $X$ 上遍历测度的积分，并证明 $\mathrm{L}^p(X,\mu)$ ($1\leq p<\infty$) $G$-等变等距格同构于空间 $\mathrm{L}^{p}(X,\lambda)$ 的 $\mathrm{L}^p$-直积分，其中 $\lambda$ 取遍 $X$ 上的遍历测度。由此可得，$G$ 作为 $\mathrm{L}^p(X,\mu)$ 的等距格自同构的典范表示，可分解为序不可约表示的 $\mathrm{L}^p$-直积分。若 $(X^\prime,\mu^\prime)$ 为概率空间，且对某个 $1\leq q<\infty$，$G$ 以强连续方式作用于 $\mathrm{L}^q(X^\prime,\mu^\prime)$ 上作为保持常数不变的等距格自同构，则 $G$ 对所有 $1\leq p<\infty$ 均以类似方式作用于 $\mathrm{L}^{p}(X^{\prime},\mu^{\prime})$。此外，存在一个替代模型，其中这些表示源于 $G$ 在紧 Hausdorff 空间上的连续作用。若 $(X^\prime,\mu^\prime)$ 是可分的，则 $G$ 在 $\mathrm{L}^p(X^\prime,\mu^\prime)$ 上的表示可分解为序不可约表示。文中发展的 Banach 空间与表示的 $\mathrm{L}^p$-直积分概念推广了文献中的现有结果。