与 Jacobi 展开相关的离散调和分析 I：热半群

本文开启与 $(\alpha,\beta)$ 阶 Jacobi 正交多项式相关的离散调和分析的研究。特别地，我们给出与算子 $J^{(\alpha,\beta)}-I$ 相关的热方程的解 $W^{(\alpha,\beta)}_t$（$t\ge 0$）及其若干性质，其中 $J^{(\alpha,\beta)}$ 是归一化 Jacobi 多项式的三项递推关系，$I$ 是恒等算子。这些结果将作为一个关于 Jacobi 矩阵热方程解的更一般定理的推论。此外，我们还证明了在参数 $\alpha$ 和 $\beta$ 的某些适当限制下算子 $W^{(\alpha,\beta)}_t$ 的正性。最后，我们利用离散向量值局部 Calder\'{o}n-Zygmund 理论研究了由热半群与 Poisson 半群定义的极大算子在加权 $\ell^{p}$ 空间中的映射性质。对于 Poisson 半群，这些性质可由用热半群控制而直接得到。