离散与连续分数阶持久性问题——正性与应用

在本文中，我们研究连续与离散分数阶持久性问题，该问题探寻给定经典（$\alpha=1$）微分方程在分数阶情形（此处使用分数阶 Caputo 导数）及其相关联的数值格式（此处使用离散 Gr\"unwald-Letnikov 导数）中性质的持久性。我们主要关注正性、保序、平衡点以及这些平衡点的稳定性。我们给出了分数阶系统保持正性的显式条件。我们还推导出确保保序的充分条件。由这些结果我们得到一个分数阶持久性定理，其保证在给定微分方程的 Caputo 分数阶嵌入下，正性、保序、平衡点及稳定性得以保持。在离散层面，问题更为复杂。遵循 R. Mickens 提出的处理非局部近似的策略，我们基于离散 Gr\"unwald-Letnikov 导数定义了分数阶微分方程的非标准有限差分格式，该格式无条件地保持正性（关于离散化步长）。我们推导了关于正性与平衡点的分数阶持久性定理的离散版本。然后将我们的结果应用于研究由 Javidi 等人引入的分数阶捕食者-猎物模型。