$\boldsymbol{\beta}$-进 Halton 序列的偏差界

Van der Corput 序列和 Halton 序列是众所周知的低偏差序列。近二十年前，Ninomiya 定义了针对 $\beta$-记数法的 Van der Corput 序列类比，并证明了当 $\beta$ 为 Pisot 数时，它们也构成低偏差序列。直到最近，Robert Tichy 及其合作者才利用遍历论方法成功证明了对于某些参数 $\boldsymbol{\beta}=(\beta_1,\ldots,\beta_s)$，$\boldsymbol{\beta}$-进 Halton 序列是均匀分布的。在本文中，我们继续这一研究，并给出了分量 $\beta_i$ 为 $m$-bonacci 数的 $\boldsymbol{\beta}$-进 Halton 序列的偏差估计。我们的方法截然不同，利用了 Rauzy 分形的动力学和几何性质，从而能够将 $\boldsymbol{\beta}$-进 Halton 序列与高维环面上的旋转联系起来。随后，可以利用基于 W.~M.~Schmidt 子空间定理的经典方法来估计这些旋转的偏差。