Dirichlet 多项式与矩问题

考虑定义在具有实系数的 Dirichlet 多项式空间 $\mathcal D[s]$ 上的线性泛函 $L$，以及 $\mathcal D[s]$ 中非负元素组成的集合 $\mathcal D_+[s]$。此背景下的 Riesz-Haviland 定理类比问到：哪些 $\mathcal D_+[s]$-正线性泛函 $L$ 是矩泛函？由于当把空间 $\mathcal D[s]$ 视为 $C([0, \infty), \mathbb R)$ 的子空间时，它并非 Choquet 意义下的适配空间，Riesz-Haviland 定理的一般形式不适用于此情形。在尝试回答前述问题时，我们引出了矩序列的概念，称之为 Hausdorff 对数矩序列。除 Riesz-Haviland 定理的类比外，我们证明任意 Hausdorff 对数矩序列是完全单调函数 $f : [0, \infty) \rightarrow [0, \infty)$ 对应的 $\{1, 0, \ldots, \}$ 与 $\{f(\log(n)\}_{n \geqslant 1}$ 的线性组合。而且，这样的 $f$ 由所讨论的序列唯一确定。