截断矩问题中的核簇与表示测度

经典的截断矩问题寻求必要且充分的条件，使得 $\mathcal{P}_{d}$（次数至多为 $d$ 的实 $n$ 变量多项式的向量空间）上的线性泛函 $L$ 可以写成关于 $\mathbb{R}^n$ 上正 Borel 测度 $\mu$ 的积分。我们在一个更一般的设定中工作，其中 $L$ 是作用在定义于 $T_{1}$ 拓扑空间 $S$ 上的 Borel 可测函数有限维向量空间 $V$ 上的线性泛函。利用迭代几何构造，我们为 $L$ 关联 $S$ 的一个子集，称为\textit{核簇}（core variety），$\mathcal{CV}(L)$。我们的主要结果是，$L$ 具有表示测度 $\mu$ 当且仅当 $\mathcal{CV}(L)$ 非空。在此情况下，$L$ 具有有限原子表示测度，且此类测度支撑集的并恰好是 $\mathcal{CV}(L)$。我们还利用核簇描述对偶空间 $V^{*}$ 中具有表示测度的泛函锥的面分解。我们证明了 Curto-Fialkow 截断 Riesz-Haviland 定理的一个推广，它允许我们通过 $L$ 的正扩张来解决广义截断矩问题。这些结果被改造以推导广义完全矩问题的 Riesz-Haviland 定理，并获得后一问题的核簇定理。