曲线 $y=q(x)$ 与 $yx^\ell=1$ 上的截断矩问题

本文研究形如 $y=q(x)$（$q(x)\in \mathbb{R}[x]$，$\text{deg } q\geq 3$）与 $yx^\ell=1$（$\ell\in \mathbb{N}\setminus\{1\}$）的曲线上的二元截断矩问题（TMP）。对于偶次度序列，基于矩矩阵扩张个数的解最初由 Fialkow 利用截断 Riesz-Haviland 定理及在这类曲线上严格为正的多项式的平方和表示给出。具体而言，该个数的上界关于序列次数与确定曲线的多项式次数是二次的。我们采用约化至单变量情形的技术，将 Fialkow 的界改进为曲线 $y=q(x)$（相应 $yx^\ell=1$）下的 $\text{deg }q-1$（相应 $\ell+1$）。这进而给出了上述平方和表示中次数的类似改进。此外，我们得到了极小表示测度中原子个数的上界：对偶次度序列，曲线 $y=q(x)$（相应 $yx^\ell=1$）下为 $k\;\text{deg }q$（相应 $k(\ell+1)$）；对奇次度序列，曲线 $y=q(x)$（相应 $yx^\ell=1$）下为 $k\;\text{deg }q-\big\lceil\frac{\text{deg }q}{2} \big\rceil$（相应 $k(\ell+1)-\big\lfloor\frac{\ell}{2} \big\rfloor+1$）。偶次情形是 Riener 与 Schweighofer 结果的对应，后者给出了所有平面曲线上奇次度序列的相同界；而奇次情形则是其在这些特殊情形下的轻微改进。进一步，我们基于对应所得单变量序列的线性矩阵不等式的可行性，给出了所研究曲线上 TMP 的另一种解法；最后具体求解了曲线 $y=x^\ell$（$\ell=2,3$）上 TMP 的奇次度情形，并为曲线 $y=x^2$ 上的偶次度情形补充了新的可解性条件。