区间交换变换与一般系统的丢番图性质：定量近迫性与连通性

我们提出一般系统的收缩目标结果，重点应用于区间交换变换(IET) $(J,T)$，$J=[0,1)$。特别地，我们证明如果IET $(J,T)$是遍历的（相对于勒贝格测度$\lam$），则等式 $$\liminf_{n\to\infty}\limits n |T^n(x)-y|=0 \tag{A1}$$ 对$\lam\ttimes\lam$-几乎所有的$(x,y)\in J^2$成立。遍历性假设是必要的：该结果不能推广到所有极小IET。式(A1)中的因子$n$是最优的（例如，不能用$n \ln(\ln(\ln n))$代替）。另一方面，对于勒贝格几乎所有的3-IET $(J,T)$，我们证明对所有$\eps>0$有 $$\liminf_{n\to\infty}\limits n^\eps |T^n(x)-T^n(y)|= \infty,\quad \text{对勒贝格几乎所有的} (x,y)\in J^2. \tag{A2}$$ 这与等式$\liminf_{n\to\infty}\limits |T^n(x)-T^n(y)|=0$形成对比，该等式对几乎所有的$(x,y)\in J^2$成立，因为$(J^2, T\times T)$是遍历的（因为一般的3-IET $(J,T)$是弱混合的）。我们还证明没有3-IET是强拓扑混合的。