具有非负交换子的膨胀下取整函数 I. 正与混合符号膨胀

在本文及其续篇中，我们分类了所有实参数对 $(\alpha,\beta)$ 的集合 $S$，使得膨胀下取整函数 $f_\alpha(x) = \lfloor{\alpha x}\rfloor$ 与 $f_\beta(x) = \lfloor{\beta x}\rfloor$ 具有非负交换子，即对所有实数 $x$ 有 $[ f_{\alpha}, f_{\beta}](x) = \lfloor{\alpha \lfloor{\beta x}\rfloor}\rfloor - \lfloor{\beta \lfloor{\alpha x}\rfloor}\rfloor \geq 0$。关系 $[f_\alpha,f_\beta]\geq 0$ 在非零点膨胀因子 $\alpha, \beta$ 的集合上诱导了一个预序，其推广了正整数上的整除偏序。本文处理膨胀参数 $\alpha$ 或 $\beta$ 中至少一个非负的情况。正膨胀情形的分析与Beatty序列理论及两生成元的丢番图Frobenius问题相关。