具有非负交换子的膨胀地板函数 II. 负膨胀

本文完成了所有实数参数对 $(\alpha,\beta)$ 的集合 $S$ 的分类，使得膨胀地板函数 $f_\alpha(x) = \lfloor{\alpha x}\rfloor$、$f_\beta(x) = \lfloor{\beta x}\rfloor$ 具有非负交换子，即对所有实数 $x$ 有 $[ f_{\alpha}, f_{\beta}](x) = \lfloor{\alpha \lfloor{\beta x}\rfloor}\rfloor - \lfloor{\beta \lfloor{\alpha x}\rfloor}\rfloor \geq 0$。本文处理两个膨胀参数 $\alpha, \beta$ 均为负的情况。该结果等价于对所有实数 $x$ 分类满足 $\lfloor{\alpha \lceil{\beta x}\rceil}\rfloor - \lfloor{\beta \lceil{\alpha x}\rceil}\rfloor \geq 0$ 的所有正 $\alpha, \beta$。该分类分析与Beatty序列理论以及双生成元的丢番图Frobenius问题相关。