有限域向量空间中膨胀构型存在的近最优阈值

设 $E\subset\mathbb{F}_q^d$ 且 $\lVert \cdot \rVert:\mathbb{F}_q^d\to \mathbb{F}_q$ 定义为 $\lVert \alpha\rVert:= \alpha_1^2+\dots+\alpha_d^2$（若 $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\in \mathbb{F}_q^d$），其中 $\mathbb{F}_q^d$ 是含 $q$ 个元素的有限域 $\mathbb{F}_q$ 上的 $d$ 维向量空间。设 $k\geq 1$ 且 $A$ 是 $\{(i,j):1\leq i<j\leq k+1\}$ 的非空子集。本文证明，对任意非零平方元 $r\in \mathbb{F}_q$ 且 $\lvert E\rvert\gg_kq^{d/2}$，可在 $E$ 中找到两个 $(k+1)$-元组，使得其中之一相对于另一个仅在 $|A|$ 条边上被 $r$ 膨胀。更确切地说，存在 $(x_1,\dots,x_{k+1})\in E^{k+1}$ 与 $(y_1,\dots,y_{k+1})\in E^{k+1}$ 使得当 $(i,j)\in A$ 时 $\lVert y_i-y_j\rVert=r\lVert x_i-x_j\rVert$，且当 $1\leq i<j\leq k+1$ 时 $x_i\neq x_j, y_i\neq y_j$。特别地，我们给出两种证明，第一种利用通常用于处理此类问题的群作用机制，第二种更具组合性且基于平均论证。此外，我们证明在二维情形下当 $q\equiv 3 \pmod 4$ 时阈值 $d/2$ 是紧的。作为该结果的推论，通过改变底层集合 $A$ 我们得到膨胀 $k$-路径、$k$-环和 $k$-星（$k\geq 3$）存在的阈值。这些结果部分推广了第二作者的某些结果。