关于 $\mathbb{F}_q^d$ 子集上相似构型的一些结果

本文研究了 $\mathbb{F}_q^d$ 中相似构型的相关问题。设 $G=(V, E)$ 为一个图，其中 $V=\{1, 2, \ldots, n\}$ 且 $E\subseteq{V\choose2}$。对于 $\mathbb{F}_q^d$ 中的集合 $\mathcal{E}$，若存在互异的 $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \ldots, \boldsymbol{x}_n\in\mathcal{E}$ 与互异的 $\boldsymbol{y}_1, \boldsymbol{y}_2, \ldots, \boldsymbol{y}_n\in\mathcal{E}$，使得当 $\{i, j\}\in E$ 时 $\|\boldsymbol{y}_i-\boldsymbol{y}_{j}\|=r\|\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{x}_j\|\neq0$（其中对 $\boldsymbol{x}=(x_1, x_2, \ldots, x_d)\in\mathbb{F}_q^d$ 定义 $\|\boldsymbol{x}\|:=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_d^2$），则称 $\mathcal{E}$ 包含膨胀比为 $r$ 的 $G$ 构型对。我们证明：若 $\mathcal{E}$ 的大小至少为 $C_kq^{d/2}$，则 $\mathcal{E}$ 包含膨胀比为 $r$ 的 $k$-星构型对；若 $\mathcal{E}$ 的大小至少为 $C\cdot\min\left\{q^{(2d+1)/3}, \max\left\{q^3, q^{d/2}\right\}\right\}$，则 $\mathcal{E}$ 包含膨胀比为 $r$ 的 $4$-路径构型对。我们的方法基于枚举组合学与图论。