点集的固定方向等边三角形匹配

给定点集 $P$ 和几何对象类 $\mathcal{C}$，$G_\mathcal{C}(P)$ 是一个以 $P$ 为顶点集的几何图，其中任意两个顶点 $p$ 和 $q$ 相邻当且仅当存在某个 $C \in \mathcal{C}$ 同时包含 $p$ 和 $q$ 且不包含 $P$ 中的其他点。我们研究 $G_{\bigtriangledown}(P)$ 图，其中 $\bigtriangledown$ 是向下等边三角形类（即一条边平行于 x 轴且该边对角位于其下方的等边三角形）。对于一般位置的点集，这些图已被证明等价于 half-$\Theta_6$ 图和 TD-Delaunay 图。本文的主要结果是：对于一般位置的点集 $P$，$G_{\bigtriangledown}(P)$ 总是包含大小至少为 $\lceil\frac{n-2}{3}\rceil$ 的匹配，且该上界无法改进至超过 $\lceil\frac{n-1}{3}\rceil$。我们还给出了 $G_{\davidsstar}(P)$ 图的一些结构性质，其中 $\davidsstar$ 是同时包含向上和向下等边三角形的类。我们证明，对于一般位置的点集，$G_{\davidsstar}(P)$ 的块割点图仅仅是一条路径。通过 $G_{\davidsstar}(P)$ 图与 $\Theta_6$ 图的等价性，我们还推导出：对于一般位置的点集，任何 $\Theta_6$ 图最多具有 $5n-11$ 条边。