微分范数与 Rieffel 代数

我们发展了保证 *-代数 $\mathcal{B}$ 上 C$^*$-范数唯一性的判据。非平凡例子由 M.A. Rieffel 通过形变量子化过程定义的 $\mathcal{C}$ 值函数非交换代数 $\mathcal{S}_J^\mathcal{C}(\mathbb{R}^n)$ 和 $\mathcal{B}_J^\mathcal{C}(\mathbb{R}^n)$ 给出,其中 $\mathcal{C}$ 是 C$^*$-代数,$J$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上关于通常逐点乘积发生形变的斜对称线性变换。在此过程中,我们证明 $\mathcal{B}_J^\mathcal{C}(\mathbb{R}^n)$ 的 Fr\'echet *-代数拓扑可由一列次乘性 *-范数生成,并且若 $\mathcal{C}$ 含单位元,则该代数在其 C$^*$-完备化下的 C$^\infty$-函数演算中封闭。我们还证明当 $\mathcal{C}$ 含单位元时,代数 $\mathcal{S}_J^\mathcal{C}(\mathbb{R}^n)$ 和 $\mathcal{B}_J^\mathcal{C}(\mathbb{R}^n)$ 在各自 C$^*$-完备化中是谱不变的。作为我们结果的推论,我们得到了 $\mathcal{B}_J^\mathcal{C}(\mathbb{R}^n)$ 中某些估计的简洁证明。