三价平面图的微分分次代数及其表示

对于任意嵌入球面的三价平面图，Casals 和 Murphy 关联了一个微分分次代数（dg-代数），其底层分次代数是一个交换环上的自由结合代数。我们的第一个结果是构造了 Casals–Murphy dg-代数在非交换系数上的推广，并证明了此前在交换情形下未被验证的多种函子性质。第二个结果是证明了该 dg-代数在域 $\mathbb{F}$ 上的秩 $r$ 表示对应于用 Grassmann 流形 $\operatorname{Gr}(r,2r;\mathbb{F})$ 中的元素对图的面进行着色，使得相邻面是横截的，且该对应在 $\operatorname{PGL}_{2r}(\mathbb{F})$ 的自然作用下成立。在组合学背后，该 dg-代数是 Legendrian 2-weaves 的 Legendrian 卫星的全非交换 Legendrian 接触 dg-代数的计算，尽管本文未对此加以证明。图着色问题验证了对于 Legendrian 2-weaves，Legendrian 接触 dg-代数的秩 $r$ 表示对应于微局部秩为 $r$ 的可构造层。这是首次对一族无穷多个 Legendrian 曲面的表示模空间与层模空间之间的双射进行如此显式的计算。