微分伽罗瓦理论与李伪群的霍普夫代数

根据E. Vessiot一项极为巧妙却从未被承认、且获1904年法国科学院奖的工作，"微分伽罗瓦理论"（DGT）主要与有限群（经典伽罗瓦理论）、代数群（Picard-Vessiot理论）与代数伪群（Drach-Vessiot理论）的"主齐性空间"（PHS）研究相关。相应的自守微分扩张分别满足 $dim_K(L)< \infty$、超越度 $trd(L/K)< \infty$ 与 $trd(L/K)=\infty$ 且 $diff trd(L/K)< \infty$。本文旨在融合微分代数、微分几何与代数几何以重访DGT，指出{\it 素微分理想}（由J.-F. Ritt于1930年定义）与{\it 极大理想}之间长期混淆，此混淆一直损害Vessiot、Drach、Kolchin及所有后续者的工作。特别地，我们利用Hopf代数研究所涉代数李伪群的结构，即由代数OD或PD方程系统定义的李伪群。为阐明这些结果，我们首次给出许多显式例子。本文亦在2021年4月刚逝世的A. Bialynicki-Birula教授90岁之际向其致敬。他的主要思想是注意到代数群 $G$ 作用于自身是PHS的最简例子。若 $G$ 定义于域 $K$ 上且引入代数扩张 $L=K(G)$，则在中间域 $K \subset K' \subset L$ 与子群 $e \subset G' \subset G$ 间存在伽罗瓦对应，前提是 $K'$ 在 $L/K$ 的不变导子李代数 $\Delta$ 下稳定。我们的目的是将此结果从代数群扩展至代数伪群，且{\it 完全}不借助参数。