微分伽罗瓦理论与力学
微分几何
2017-10-24 v1 代数几何
群论
经典物理
摘要
经典伽罗瓦理论处理某些有限代数扩张，并建立中间域与称为扩张的伽罗瓦群的置换子群之间的双射反序对应。十九世纪末许多数学家的梦想是将这些结果推广到代数偏微分(PD)方程组及相应的有限生成微分扩张，以便能在任何经典陈述前加上“微分”一词。E. Kolchin在1950至1970年间实现的Picard-Vessiot理论现已众所周知。本文的目的是通过混合微分代数、微分几何和代数几何的新方法，勾勒此类微分扩张与代数伪群的一般理论。正如E. Vessiot在1904年通过使用自同构系统（一个从未被承认的概念）所发现的，要点在于注意到伽罗瓦理论（旧与新）主要是对代数群或伪群的主齐性空间(PHS)的研究。因此，必须同时使用D.C. Spencer在1970年前后发展的PD方程形式理论以及现代代数几何，特别是环与域的张量积。然而，这些新工具的结合并不充分，我们还必须创建李伪群的类似于A. Bialynicki-Birula在1960年后研究带导数的代数群与域时所引入的所谓不变导数。我们将最终通过令人瞩目的力学应用——重访壳理论、链理论、Frenet-Serret公式以及哈密顿-雅可比方程的积分——来证明所得微分伽罗瓦理论的实用性。
引用
@article{arxiv.1710.08122,
title = {Differential galois theory and mechanics},
author = {Jean-François Pommaret},
journal= {arXiv preprint arXiv:1710.08122},
year = {2017}
}
备注
This paper is a natural continuation with applications of the recent differential algebraic section of the paper hal-01570516 (arxiv:1707.09763)