计算二阶线性微分方程单参数族的微分Galois群

我们开发了算法来计算具有有理函数系数的二阶齐次常线性微分方程单参数族对应的微分Galois群。更精确地说，我们考虑形式为 \frac{\partial^2Y}{\partial x^2}+ r_1\frac{\partial Y}{\partial x} +r_2Y=0 的方程，其中 $r_1,r_2\in C(x,t)$，$C$ 是特征为零的代数闭域。我们在参数化Picard-Vessiot理论的框架下工作，该理论为这样的方程赋予一个线性微分代数群，即一个可逆矩阵群，其元素满足关于参数空间导数的多项式微分方程组。我们将计算定义相应参数化Picard-Vessiot群（作为 $\mathrm{GL}_2$ 的微分代数子群）的 $\frac{\partial}{\partial t}$-微分多项式方程。