Laurent 序列、扩展 Rota 代数与动力系统的范畴离散化

我们针对一大类具有变系数的微分方程(包括线性和非线性情形),引入一种新的保持可积性的离散化方法。该构造通过范畴方法实现,从而能够对连续与离散动力系统进行统一处理。我们的理论框架建立于对 G. C. Rota 有限算子演算的一种新推广之上,使得基本多项式序列理论能够推广至 Laurent 多项式情形。据此,我们引入\textit{扩展 Rota 代数}的概念,将其定义为一个 Galois 微分代数,其中所有差分算子相对于一个适当定义的函数乘积作用于 Laurent 幂级数空间,起到导数的作用。我们理论的核心依赖于新提出的 Galois 微分代数 Rota 范畴与合适的抽象动力系统范畴之间的协变函子的存在。在此框架下,在一定的正则性假设下,微分方程及其离散类比自然地被解释为同一范畴的对象。这一视角使我们能够构造一大类可积映射,它们与其连续类比共享大量精确解(无论是\textit{正则}还是\textit{奇异}解),并在线性情形下共享 Picard-Vessiot 群。