辛字母表中的对称多项式及其通过 Dickson--Zhukovsky 变量的表示

给定 $2n$ 个变量中的对称多项式 $P$，存在唯一的 $n$ 个变量中的对称多项式 $Q$，使得 $$P(x_1,\ldots,x_n,x_1^{-1},\ldots,x_n^{-1}) =Q(x_1+x_1^{-1},\ldots,x_n+x_n^{-1}).$$ 我们将此多项式 $Q$ 记为 $\Phi_n(P)$ 并证明 $\Phi_n$ 是一个代数满同态。我们对若干族对称多项式 $P$ 计算了 $\Phi_n(P)$：辛与正交 Schur 多项式、初等对称多项式、完全齐次多项式以及幂和。其中部分公式已由 Elouafi (2014) 与 Lachaud (2016) 得到。形如 $\Phi_n(\operatorname{s}_{\lambda/\mu}^{(2n)})$ 的多项式（其中 $\operatorname{s}_{\lambda/\mu}^{(2n)}$ 是 $2n$ 个变量中的斜 Schur 多项式）在对称带状 Toeplitz 矩阵子式的研究中自然出现，当生成符号为回文 Laurent 多项式且其根可写为 $x_1,\ldots,x_n,x^{-1}_1,\ldots,x^{-1}_n$ 时。Trench (1987) 与 Elouafi (2014) 找到了对称带状 Toeplitz 矩阵行列式的高效公式。我们证明这些公式等价于 Ciucu 与 Krattenthaler (2009) 关于典型群特征标分解的结果。