具有有限谱的正规算子的对角

设 X 为复数的有限集,H 为可分 Hilbert 空间,A 为作用于 H 上且谱为 X 的正规算子。相对于 H 的固定正交基 e_1,e_2,... ,A 给出一个矩阵,其对角为序列 d=(d_1,d_2,...) 且具有每一项 d_n 都属于 X 的凸包的性质。并非所有具有该性质的序列都能作为谱为 X 的正规算子的对角出现。X 为实数集的情形多年来受到大量关注,且已被较好地(虽不完整)理解。本文研究 X 为复平面中凸多边形的顶点集的情形。关键的序列 d 恰好是那些在 X 中快速累积的序列,即满足 $$\sum_{n=1}^\infty {\rm{dist}} (d_n,X)<\infty.$$ 我们证明存在一个阿贝尔群 $\Gamma_X$ —— 它是 $R^2$ 模一个具有具体算术性质的的可数子群的商 —— 以及此类序列到 $s(d)\in\Gamma_X$ 的满射映射 d↦s(d),并具有以下性质:若 s(d) 不为 0,则 d 不是任何此类算子 A 的对角。我们还证明当 X 含两点时这是唯一的障碍,而当 X 含多于两点时存在其他(迄今未知的)障碍。