检测 $d_{1}\otimes d_{2}$ 维二分纠缠态:一种图论方法

Braunstein 等人开创了通过图论方法研究量子态纠缠性质的工作。他们的思想是从一个简单的无权重图 $G$ 出发,然后由图 $G$ 的拉普拉斯矩阵定义量子态。已有大量研究使用了类似思想。我们在此提出相反的问题,即能否由密度矩阵生成图?为探究此问题,我们构造了一个单位映射 $\phi$ 使得 $\phi(\rho)=L_{\rho}+\rho$,其中量子态由密度算子 $\rho$ 描述。$L_{\rho}$ 的矩阵元依赖于量子态 $\rho$ 的矩阵元,且这些元的选取使得 $L_{\rho}$ 满足拉普拉斯矩阵的所有性质。这使得由拉普拉斯矩阵 $L_{\rho}$ 设计一个简单的连通带权图成为可能。我们表明所构造的单位映射 $\phi$ 能依据量子态的纯度刻画该量子态:若矩阵 $\phi(\rho)-I$ 的行列式为正,则量子态 $\rho$ 表示混合态。此外,我们依据所研究密度矩阵的谱与给定密度矩阵相关联的拉普拉斯矩阵的谱来研究正部分转置(PPT)判据。进而,我们推导了密度矩阵的最小特征值与简单带权图连通子图的边权之间的不等式,以检测 $d_{1} \otimes d_{2}$ 维二分量子态的纠缠。最后,我们用若干例子说明了我们的结果。