通过分层散射探测障碍物的内蕴整体几何

给定一个闭的 $k$ 维子流形 $K$，封装于紧致域 $M \subset \mathbb E^n$ 中，$k \leq n-2$，我们考虑由散射数据确定障碍物 $K$ 的内蕴几何（如体积、积分曲率）的问题，该散射数据由 $M$ 中 $K$ 的管状 $\epsilon$-邻域 $\mathsf T(K, \epsilon)$ 的边界所反射的测地轨迹产生。参与此散射的测地线从边界 $\partial M$ 发出，并在从边界 $\partial \mathsf T(K, \epsilon)$ 反射数次后终止于该处。然而，此设定中的主要问题是，一条射线（台球轨迹）可能通过进入 $K$ 附近的某个陷阱而滞留其中，从而该射线将有无穷多次从 $\partial \mathsf T(K, \epsilon)$ 反射。为排除这种可能，我们通过由球形气泡构造管 $\mathsf T(K, \epsilon)$ 来修正其几何。我们需要使用 $\lceil \dim(K)/2\rceil$ 个这样的冒泡管 $\{\mathsf T(K, \epsilon_j)\}_j$ 来探测 $K$ 的某些整体不变量，这些不变量反映了其内蕴几何。这便是标题中“分层散射”一词的由来。这些不变量由 Hermann Weyl 在其经典的管 $\mathsf T(K, \epsilon)$ 及其体积理论中研究过。