非对易与多重分形时空中的变形对称性

我们阐明了非对易时空与多重分形几何之间的关系，这是两种与量子引力相关的方法，其中时空的基本描述并非由经典光滑几何给出。尽管它们的概念前提和数学形式体系不同，但两个研究项目都允许时空维度随探测尺度变化。这一特征及其他相似性引发了关于这两种独立提议之间是否存在对偶性的疑问。在没有曲率的情况下，通过比较位置空间和动量空间的对称性，我们证明$\kappa$-闵可夫斯基时空与具有$q$-导数的对易多重分形理论在物理上是不等价的，但它们存在若干接触点，使得人们可以将$\kappa$-闵可夫斯基非对易几何的某些方面描述为多重分形理论，反之亦然。与先前文献相反，这一结果成立无需对$\kappa$-闵可夫斯基假设任何特定测度。更一般地，从$q$-理论无法构造出良好定义的$\star$-乘积，尽管后者确实允许一个具有给定变形庞加莱代数的自然非对易扩展。类似的不可行定理可能对所有具有可分解测度的多尺度理论有效。引入引力后，我们写出了具有$q$-导数和加权导数的多重分形理论中引力第一类约束的代数，并讨论了它们与$\kappa$-闵可夫斯基时空和圈量子引力的变形代数的差异。