带状多面体内的深层格点、孤独跑者与孤独兔

设 $K \subseteq \mathbb{R}^d$ 为一个凸体，$\mathbf{w} \in \operatorname{int}(K)$ 为 $K$ 的一个内点。不对称系数 $\operatorname{ca}(K,\mathbf{w}) := \min\{ \lambda \geq 1 : \mathbf{w} - K \subseteq \lambda (K - \mathbf{w}) \}$ 在 Hensley 关于含固定正整数个内格点的 $d$ 维格多面体最大体积的猜想研究中已被广泛探讨。我们研究格带状多面体（即具有整数端点的线段的闵可夫斯基和）的不对称系数。我们的主要结果给出：对于任意含有内格点的格带状多面体，存在一个内格点，其不对称系数被一个显式常数 $\Theta(d \log\log d)$ 从上界所限制。我们的工作既受 Wills 的丢番图逼近中孤独跑者猜想的启发，也反哺于该猜想：我们密集使用了该猜想的一个离散版本，反之，我们用带状多面体的不对称系数重新表述了孤独跑者猜想。