深洞格与椭圆曲线的同源

给定平面上的格 $L$，我们定义其附属深洞格 $H(L)$ 由 $L$ 的最短向量以及包含在对应于最短基向量的三角形中的 $L$ 的一个深洞张成。我们研究深洞格的几何与算术性质。特别地，我们探究 $L$ 满足何种条件时 $H(L)$ 为良圆格，并证明 $H(L)$ 与 $L$ 定义于同一域。对于对应于椭圆曲线同构类的周期格，我们生成一条以良圆格结尾的深洞格有限序列，该良圆格在 $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ 作用于上半平面时对应于基本条带边界弧上的点。在 CM 椭圆曲线情形，我们证明该序列生成的所有椭圆曲线彼此同源，并给出同源次数的界。最后，我们对具有指定深洞格的平面格给出计数估计。