双色方阵分解为平衡对角线

给定一个 $n\times n$ 数组 $M$ ($n\ge 7$)，其中每个单元格染两种颜色之一，我们给出 $M$ 划分为 $n$ 条对角线（每条至少包含每种颜色的一个单元格）的充要条件。作为推论，若每种颜色至少出现在 $2n-1$ 个单元格中，则存在这样的划分。证明使用了部分拉丁方补全的结果。