非截断 Boltzmann 方程加权 $L^2 \cap L^\infty$ 解的 De Giorgi 论证

本文首次对无角截断的 Boltzmann 方程在 $L^\infty$ 框架下全局存在性问题给出了肯定的回答。具体而言，我们证明了当初始数据接近平衡态且扰动在具有多项式衰减尾的 $L^2 \cap L^\infty$ 中较小时，Boltzmann 方程在加权 $L^2\cap L^\infty$ 空间中存在全局解。为了克服由奇异截面和低正则性带来的困难，在平均引理的帮助下，我们在动力学背景下精心构造了一种 De Giorgi 型论证。更具体地，我们利用强平均引理获得水平集函数的合适 $L^p$ 估计。这些估计对于构造适当的能量泛函以执行 De Giorgi 论证至关重要。与 \cite{AMSY} 类似，我们利用线性化 Boltzmann 算子的谱隙将局部解延拓为全局解。随后作为副产物得到了向平衡态的收敛性，并在 $L^2$ 和 $L^\infty$ 空间中给出了弛豫。