基于插值 Macdonald 多项式的 $\mathfrak{gl}_N$ 纽结不变量分圆展开

本文中，我们基于插值 Macdonald 多项式，为量子 $\mathfrak{gl}_N$ 中心的分圆完备化构造了一个新的基。随后我们利用 Okounkov 的一个结果，给出关于量子 Killing 形式（或 Hopf 配对）的对偶基。主要应用为：1) $\mathfrak{gl}_N$ Reshetikhin--Turaev 链环不变量与泛 $\mathfrak{gl}_N$ 纽结不变量的分圆展开；2) 利用泛 Kirby 色对整同调 3-球面的统一 $\mathfrak{gl}_N$ 不变量进行显式构造。这些结果推广了 Habiro 关于 $\mathfrak{sl}_2$ 的结果。此外，我们给出一个简单证明：任意偶框链环的泛 $\mathfrak{gl}_N$ 不变量与任意 $0$-框代数分裂链环的泛 $\mathfrak{sl}_N$ 不变量是 $\Gamma$-不变的，其中 $\Gamma=Y/2Y$，根格为 $Y$。