实心环面中纽结的割圆结合子与有限型不变量

泛 Vassiliev-Kontsevich 不变量是从纽结范畴到某个弦图的分次范畴的函子，它与 Vassiliev 滤波相容且其相伴分次为同构。Vassiliev 滤波可自然推广至任意增厚曲面 $M\times I$ 中的纽结，但相应的图范畴缺乏对上述构造至关重要的某些有限性性质。我们建议通过研究与 $M$ 的有限覆盖相关联的 Vassiliev 不变量族来克服这一障碍。在 $M=\mathbb{C}^*$ 的情形下，对于每个正整数 $N$，这导出了 $\mathbb{C}^* \times I$ 空间中纽结（或“B-纽结”）上的一个滤波。我们首先在辫子模范畴框架下证明了 Shum--Reshetikhin--Turaev 定理的一个扩展，从而得到 B-纽结不变量。我们引入了一个“$N$-弦图”范畴，并利用 Enriquez 引入的 Drinfeld 结合子的割圆推广，在其上赋予了辫子模范畴结构。我们证明了从 B-纽结范畴出发的相应函子是关于 $N$ 滤波的泛不变量。我们证明了通常意义上的 Vassiliev 不变量可以被 $N$ 有限型不变量很好地逼近。我们证明了该泛不变量的特化可由装备了保持度量的有限阶自同构的可度量 Lie 代数上的模构造出来。在后者为“Cartan”自同构的情形下，我们利用作者先前的工作，借助量子群显式计算了这些不变量。限制于链环时，该构造提供了多项式不变量。