一般基环上交换代数的循环同调

我们考虑如标题所述的、在固定交换基环 $k$ 上的交换代数与链DG代数。我们关注通过自由DG分解 $\Lambda V @>>> A$ 计算此类代数的循环（与Hochschild）同调的问题。我们找到了谱序列 $$E^2_{p,q}=H_p(\Lambda V\otimes\Gamma^q(dV))\Rightarrow HH_{p+q}(\Lambda V)$$ 与 $${E'}^2_{\pq}=H_p(\Lambda V\otimes\Gamma^{\le q}(dV)) \Rightarrow HC_{p+q}(\Lambda V)$$ 代数 $\Lambda V\otimes\Gamma(dV)$ 是de Rham代数的分幂版本；在 $k$ 为特征零的域这一特殊情况下，上述谱序列与Burghelea和Vigué所发现的谱序列一致（Cyclic homology of commutative algebras I, Lecture Notes in Math. {\bf 1318} (1988) 51-72），其中表明它们在 $E^2$ 项退化。对于任意基环，我们在此证明（定理2.3）：若 $V_n=0$ 对 $n\ge 2$ 成立，则 $E^2=E^\infty$。由此我们导出用晶体上同调的复形的一个滤子表示平坦完全交的Hochschild同调的公式，并也用晶体上同调（定理3.0）给出了 ${E'}^2$ 的描述。后一个谱序列在嵌入维数 $\le 2$ 的完全交上退化（推论3.1）。在无平坦性假设下，我们的结果可视为Shukla（循环）同调的计算（T. Pirashvili, F. Waldhausen; Mac Lane homology and topological Hochschild homology, J. Pure Appl. Algebra {\bf 82} (1992) 81-98）。