正切族中的周期倍增、合并与重整化

本文研究正切族$\{ T_t(z)=i t\tan z\}_{0< t\leq \pi}$限制在实轴和虚轴上时向混沌的过渡。由于正切映射没有临界点，但在无穷远处有一个本性奇点和两个对称的渐近值，因此出现了新的现象：随着$t$增加，我们发现“周期四倍化”、“周期分裂”和标准的“周期倍增”的单一实例；随后出现一种普遍的“周期合并”模式，即两个周期为$2^n$的吸引循环“合并”为一个周期为$2^{n+1}$的吸引循环，以及“循环倍增”模式，即一个周期为$2^{n+1}$的吸引循环“变成”两个相同周期的吸引循环。我们使用重整化来证明这些分岔参数的存在性。循环倍增和周期合并参数的唯一性相当微妙，需要一种新的方法。为了证明循环倍增和合并参数确实是唯一的，我们将“全纯运动”的概念应用于我们的情境。此外，我们证明存在一个“无限可重整化”的正切映射$T_{t_\infty}$。它没有吸引或抛物循环。相反，它有一个包含在实轴和虚轴中的奇异吸引子，该吸引子在$T^2_{t_\infty}$下是前向不变的且极小的。这个奇异吸引子与实线的交集由两个二进Cantor集组成，与虚线的交集则是完全不连通的、完全的且无界的。