在 $d$ 维空间中的单纯形网格上的 Crouzeix-Raviart 元素

本文介绍了一般多项式阶数 $k$ 和空间维数 $d\geq2$ 的 Crouzeix-Raviart 元素，用于单纯形有限元网格。我们给出非共形基函数的显式表示，并证明其共形伴随空间——即多项式阶数 $k$ 的共形有限元空间——被包含在 Crouzeix-Raviart 空间中。我们证明了 Crouzeix-Raviart 空间直接和分解为（子）共形伴随空间与非共形基函数张量场的张量积。引入的自由度与基函数双线性型相容，导致局部近似/插值算子的定义。在二维或 $k=1$ 时，这些自由度可划分为单纯形与 $\left( d-1\right)$ 维面积积分，使得在 Crouzeix-Raviart 函数的基表示中，与网格中低维面相关的基函数的所有系数均由这些面积积分决定。还将证明，在更高空间维数和 $k>1$ 时，这种自由度集合不存在。