曲面码与蜂窝Floquet码中的交叉帽缺陷与容错逻辑门

我们考虑定义在不可定向曲面上的 $\mathbb{Z}_2$ 环面码、曲面码和 Floquet 码，它们可视为扩展 Shor 9 量子比特码的一族码。我们研究了此设定下 $\mathbb{Z}_2$ 环面码的容错逻辑门，其对应于底层 $\mathbb{Z}_2$ 规范理论的 $e\leftrightarrow m$ 交换对称性。我们发现不可定向几何为涌现对称性作用于码空间提供了新方式，并发现了二维 $\mathbb{Z}_2$ 环面码在带单个交叉帽的曲面（称为不可定向环面码）上容错 Hadamard 门的新实现。该 Hadamard 门可由常深度局域酉线路实现，模去由交叉帽引起的非局域性。通过折叠，不可定向曲面码可转化为双层局域量子码，其中折叠交叉帽等价于终止于带隙边界的双层扭转，且逻辑 Hadamard 仅包含具层内耦合的局域门。我们进一步获得了不可定向曲面码堆叠的完整逻辑 Clifford 门集合。随后我们构造了存在单个交叉帽的蜂窝 Floquet 码，发现顺序 Pauli 测量的周期作为 $HZ$ 逻辑门作用于单个逻辑量子比特，其中交叉帽相比可定向情形丰富了动力学。我们发现蜂窝 Floquet 码的动力学由 $\mathbb{Z}_2$ 规范理论的凝聚算符精确描述，并从支撑于不可定向曲面上的凝聚算符角度阐明了我们码的非寻常动力学。