有限域中 $\mathbb{Z}_{sp}$ 的划分：树和循环的群结构

本文探讨了环 $\mathbb{Z}_{sp}$ 的代数与图形结构，特别关注其分解为有限域、内核和特殊子集的问题。我们建立了 $\mathbb{F}_s$ 与 $p\mathbb{F}_s$，以及 $p\mathbb{F}_s^{\star}$ 与 $p\mathbb{F}_s^{+1,\star}$ 的经典同构。我们引入弧和根树的概念来描述 $\mathbb{Z}_{sp}$ 的前周期结构，并证明以 $s$ 或 $p$ 整除的元素为根的树可通过乘以循环弧从单位树生成。进一步，我们定义并分析了集合 $\mathbb{D}_{sp}$，其中包含既非 $s$ 或 $p$ 的倍数元素，也非“差一”元素的元素，表明其图分解为循环和前周期树。最后，我们展示了 $\mathbb{Z}_{sp}$ 中的每个循环都包含由有限域 $p\mathbb{F}_s$ 和 $s\mathbb{F}_p$ 的循环派生的内循环，并讨论了 $\mathbb{D}_{sp}$ 的加密学相关性，突出其在分析循环攻击和因式分解方法方面的潜在应用。