板中的临界渗流与最小生成树

已知 $\mathbb{Z}^{d}$ 上的最小生成森林在 $d \leq 2$ 时由单棵树组成，并推测对于大 $d$ 由无穷多棵树组成。在本文中，我们证明对于拟平面图例如 $\mathbb{Z}^{2}\times {\{0,\ldots,k\}}^{d-2}$ 存在单棵树。我们的方法依赖于 arXiv:1401.7130 中“粘合引理(Gluing Lemma)”的推广。一个相关结果是板上的临界伯努利渗流满足盒子交叉性质。其证明基于拟平面图的一个新的 Russo-Seymour-Welsh 型定理。因此，在临界性下，从 $0$ 出发直径为 $n$ 的开路径的概率在 $n$ 中多项式衰减。这加强了 arXiv:1401.7130 的结果，其中首次建立了临界性下无无穷簇。