$\mathbb{Z}^2$ 上临界点渗流的 Russo-Seymour-Welsh 定理

Xiaolin Zeng

$\mathbb{Z}^2$ 上临界点渗流的 Russo-Seymour-Welsh 定理

概率论 2013-09-10 v1

作者: Xiaolin Zeng

摘要

针对 $\mathbb{Z}^2$ 键渗流或 T（三角晶格）点渗流的 Russo-Seymour-Welsh 定理指出，在临界状态下，对于所有固定的实数 $\lambda$ ，当 $n$ 趋于无穷大时，每个尺寸为 $n \times \lambda n$ 的矩形存在水平占据交叉的概率是非退化的。转向 $\mathbb{Z}^2$ 上的点渗流，其中自对偶性不再成立，我们证明了 RSW 定理的类比陈述在这种情况下仍然成立。证明使用了适当的有限尺寸判据以及 Kesten 的一项结果，该结果允许我们在不损失太多概率的情况下扩展现有的交叉路径。因此，临界状态下不存在无限簇。本文的目标有两个。我们的首要目标是给出 $\mathbb{Z}^2$ 点渗流 RSW 定理的证明。由于该证明本质上使用了 Kesten 关于所谓“盒子交叉”的著名结果，本文的第二个目标是以或许更易懂的语言呈现该定理的自包含证明。

关键词

Russo-Seymour-Welsh 定理点渗流临界状态 Z^2 晶格盒子交叉无限簇

引用

@article{arxiv.1309.2273,
  title  = {A Russo Seymour Welsh Theorem for critical site percolation on \(\mathbb{Z}^2\)},
  author = {Xiaolin Zeng},
  journal= {arXiv preprint arXiv:1309.2273},
  year   = {2013}
}

备注

18 pages, 21 figures

\(\mathbb{Z}^2\) 上临界点渗流的 Russo-Seymour-Welsh 定理

摘要

关键词

引用

备注

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