平面上凸区域的临界轨迹

设 $K$ 为 $\mathbb{R}^2$ 中关于原点对称的有界凸区域。$K$ 的临界轨迹定义为 $\mathbb{R}^2$ 中具有最小可能余体积且满足 $\Lambda \cap K= \lbrace 0\rbrace$ 的格 $\Lambda$ 的（非空紧致）集合。这些是数的几何中的经典对象；然而，此前已知的临界轨迹的所有例子要么是有限集，要么是有限条闭曲线的并集。在本文中，我们给出了一种新的构造方法，特别地，它提供了具有任意介于 $0$ 和 $1$ 之间 Hausdorff 维度的临界轨迹的区域的例子。