正交不变簇的临界空间

设 $q$ 为 $V$ 上的非退化二次型。设 $X\subset V$ 在包含于 $SO(V,q)$ 的李群 $G$ 的作用下不变。对任意 $f\in V$，考虑由 $d_f(x)=q(f-x)$ 定义的从 $X$ 到 $C$ 的函数 $d_f$。我们证明 $d_f$ 的临界点位于正交于 ${\mathfrak g}\cdot f$ 的子空间中，我们称之为临界空间。特别地，$X$ 中到 $f$ 的任意最近点都位于临界空间中。该构造适用于张量的奇异 t-ples 与旗簇，并推广了 Draisma、Tocino 及作者先前的结果。作为一个应用，我们计算了完备旗簇的欧几里得距离次数。