高维中扩散-消失二分的临界长度

我们考虑经典 Fisher-Kolmogorov 方程的推广，称为 \textit{Fisher-Stefan} 模型，其为定义在 $0 < x < L(t)$ 上的移动边界问题。Fisher-Stefan 模型的一个关键性质是 \textit{扩散-消失二分}，其中 $L(t) > L_{\textrm{c}}$ 的解在 $t \to \infty$ 时最终会扩散，而 $L(t) \ngtr L_{\textrm{c}}$ 的解在 $t \to \infty$ 时会消失。在一维中，临界长度 $L_{\textrm{c}} = \pi/2$ 是众所周知的。本工作中我们将 Fisher-Stefan 模型重新表述于高维，并在径向对称坐标系中计算 $L_{\textrm{c}}$ 作为空间维数的函数。我们的结果展示了 $L_{\textrm{c}}$ 如何依赖于问题的维数，且控制偏微分方程的数值解与我们的计算一致。