用完美匹配覆盖图的边

一个$r$-图是指一个$r$-正则图，且没有大小小于$r$的奇割。Lovász的一个广为称颂的结果指出，对于此类图，线性系统$Ax = \textbf{1}$在$\mathbb{Z}/2$中有解，其中$A$是边到完美匹配的$0,1$关联矩阵。注意我们允许$x$有负分量。在本文中，我们给出Lovász结果的一个改进版本，证明事实上存在一个解$x$，其所有分量均为整数或$+1/2$，且对应于一组线性无关的完美匹配。此外，$+1/2$的总数至多为$6k$，其中$k$为该图的紧割分解中Petersen砖的数量。