平面Braces中三角形顶点的紧下界与薄边及非薄边的上界

对于图 $\GG$ 的顶点集合 $X \subseteq \VV(\GG)$，我们记由 $\GG$ 的边中恰好有一个端点在 $X$ 上的边集为 $\partial(X)$，并称其为 $X$ 的割或边割 $\partial(X)$。若图 $\GG=(\VV,\EE)$ 满足：对所有 $e \in \EE(\GG)$，存在一个完美匹配 $M$ 使得 $e \in M$，则称 $\GG$ 为匹配覆盖图。若匹配覆盖图 $\GG$ 的割 $C$ 满足：对任意边 $e$，存在一个完美匹配 $M_{e}$ 使得 $e \in M_{e}$ 且 $|C \cap M_{e}| = 1$，则称 $C$ 为分离割。若匹配覆盖图 $\GG$ 的割 $C$ 满足对其每个完美匹配 $M$ 都有 $|C \cap M| = 1$，则称 $C$ 为 $\GG$ 的紧割。对于 $X, Y \subseteq \VV(\GG)$，记由 $\EE(\GG)$ 中一个端点在 $X$ 而另一个端点在 $Y$ 上的边集为 $E[X,Y]$。若 $\partial(X)=E[X,\overline{X}]$ 为边割，其中 $\overline{X}=\VV(\GG) \setminus X$，且 $|X|=1$ 或 $|\overline{X}|=1$，则称该割为平凡割。若匹配覆盖图中不存在非平凡紧割，则若其为二分图则称为brace，若为非二分图则称为brick。若在brace $\GG$ 中的边 $e$ 满足：对于 $\GG - e$ 的每个紧割 $\partial(X)$，都有 $|X| \le 3$ 或 $|\overline{X}| \le 3$，则称 $e$ 为薄边。Carvalho、Lucchesi和Murty猜想存在正常数 $c$，使得每个brace $\GG$ 至少有 $c|\VV(\GG)|$ 条薄边。He和Lu 证明了brace中薄边数的下界以三角形顶点数为度量。我们询问是否存在不含三角形顶点的平面brace。我们以否定方式作答，说明此类平面brace集合为空。我们能够给出三角形顶点数在平面brace中的数量上紧的下界。我们证明了平面brace中非薄边和薄边的紧上界。