HyperKahler ALE 4-manifold 上的有理曲线计数与标准复结构

所有具有给定非平凡有限群 $\Gamma$ 的 HyperKahler ALE 4-manifold 在 $SU(2)$ 无穷远处的参数化为一个维数为 $3\mathrm{rank}\Phi$ 的实线性空间的开稠密子集。其中，$\Phi$ 表示通过 McKay 对应关联的 $\Gamma$ 的根系。此类 manifold 与 Kleinian 奇点的最简解析流形同胚。通过使用 twistor 空间的周期图，我们指定参数空间中哪些点包含最简解析流形的复结构。此外，我们计算每条 HyperKahler ALE 4-manifold 上的有理曲线。对于参数空间中的每个点，我们可以分配一个等于包含有理曲线的复结构数量的整数。我们证明该整数函数在参数空间上是下半连续的。最终，基于已知结果，我们证明任何 HyperKahler ALE 的 twistor 空间都不是 Kahlerian 的。特别是，我们加强了 Kronheimer (J. Differential Geom., 29(3):665--683, 1989) 的某些结果，提供了非紧凑且非 Kahlerian twistor 空间的示例。