宇宙拓扑学。第二部分a。本征模、关联矩阵与可定向欧几里得流形的可探测性

若宇宙具有非平凡空间拓扑，可观测量依赖于空间流形参数以及观测者的位置与取向。在无限欧几里得空间中，大多数宇宙学可观测量源于原初标量曲率扰动的傅里叶模振幅。拓扑边界条件以特定傅里叶模的选定线性组合取代完整的傅里叶模集合，作为标量拉普拉斯算子的本征模。我们给出了拓扑为 $E_{1}-E_{6}$、$E_{11}$、$E_{12}$、$E_{16}$ 和 $E_{18}$ 的可定向欧几里得流形的本征模公式，其涵盖流形参数与观测者位置的完整范围，推广了先前处理。在假设原初标量曲率本征模振幅为独立随机变量的前提下，针对每种拓扑，我们获得了傅里叶模振幅（与标量曲率线性相关的标量场）的关联矩阵，以及此类场在球面上采样（如宇宙微波背景（CMB）温度）的球谐系数关联矩阵。我们评估了给定观测 CMB 天区的宇宙方差下这些关联的可探测性。我们发现，到最近克隆的距离小于约 1.2 倍 CMB 最后散射面直径的拓扑给出的关联信号大于 CMB 中的宇宙方差噪声。这意味着，若宇宙拓扑是 CMB 大角度异常的解释，则到最近克隆的距离不会远大于最后散射面的直径。我们认为，拓扑信息更可能保存在三维数据中，例如最终将来自大尺度结构巡天的数据。