Ruelle 算子的相关不等式与单调性性质

令 $X = \{1,-1\}^\mathbb{N}$ 为赋予乘积序的符号空间。若对于任意一对连续递增函数 $f$ 和 $g$，$X$ 上的 Borel 概率测度 $\mu$ 满足 $\mu(fg)-\mu(f)\mu(g)\geq 0$，则称其满足 FKG 不等式。本文第一部分在热力学形式化框架下，针对一类 Ruelle 算子对偶的本征测度证明了 FKG 不等式的有效性，涵盖统计力学中若干有趣的例子。除了在经典吸引规范结果未涵盖的情形下推导出该不等式外，我们的证明还具有易于适应合适子移位的优点。我们回顾（并在我们的设定下提供证明）了关于格点 $\mathbb{N}$ 上长程 Ising 模型的一些经典结果，并利用它们推导出关联 Ruelle 算子的某些单调性性质及其与相变的关系。众所周知，对于某些连续势，不存在与作用在 $C(X)$ 上的 Ruelle 算子的谱半径相关联的正连续本征函数。在此，我们运用了一些与对合核相关的思想，以适当的方式解决了一类具有低正则性的势的主本征值问题。由此，我们得到了与具有 $1/r^{2+\varepsilon}$ 相互作用能的 Ising 模型相关联的 Ruelle 算子主本征值（从而也是压强）的一个显式严格上界。考虑了 Ruelle 算子向合适 Hilbert 空间的扩展，并利用 Lions-Lax-Milgram 定理获得了一个（在弱意义下）解决主本征值问题的定理。