热力学形式中的非平衡：热力学第二定律、气体与信息几何

在非平衡热力学与信息论中，相对熵（或称 KL 散度）起着非常重要的作用。考虑一个 Hölder 雅可比矩阵 $J$ 与 Ruelle（转移）算子 $\mathcal{L}_{\log J}$。两个平衡概率 $\mu_1$ 和 $\mu_2$ 可通过由 Ruelle 算子的对偶 $\mathcal{L}_{\log J}^*$ 的作用所描述的离散时间{\it 热力学操作}发生相互作用。我们论证了律 $\mu \to \mathcal{L}_{\log J}^*(\mu)$ 产生非平衡，在证明其是热力学第二定律的一种表现之后，可被视为一种热力学操作。我们还证明了相对熵的变化满足 $$D_{K L} (\mu_1,\mu_2) - D_{K L} (\mathcal{L}_{\log J}^*(\mu_1),\mathcal{L}_{\log J}^*(\mu_2))= 0.$$ 此外，我们给出了使 $h(\mathcal{L}_{\log J}^*(\mu_1))\geq h(\mu_1)$ 成立的关于 $J,\mu_1$ 的充分条件，其中 $h$ 为熵。回顾 Hölder 平衡概率的 Banach 流形上的自然黎曼度量，我们给出了 KL 散度的无穷小切向变化的二阶泰勒公式；这是信息几何中的一个关键估计。我们引入了热、功、体积、压强和内能等概念，它们在此起到与气体热力学中类似概念相同的作用。我们简要描述了 MaxEnt 方法。