Hölder 平衡概率流形上的测地线及动力学信息投影

我们在此考虑由变换 $T:M \to M$ 描述的离散时间动力学,其中 $T$ 要么是符号空间 $M=\{1,2,...,d\}^\mathbb{N}$ 上的移位作用 $T=\sigma$,要么 $T$ 描述一类 $C^{1+\alpha}$ 的 $d$ 对 $1$ 扩张变换 $T:S^1 \to S^1$(例如 $x \to T(x) =d\, x$ (mod $1)$\,),其中 $M=S^1$ 为单位圆。已知 Hölder 势 $A:M \to \mathbb{R}$ 的平衡概率的无穷维流形 $\mathcal{N}$ 是一个解析流形,并带有一个与渐近方差相关的自然黎曼度量。我们在此证明,在 Ruelle 算子的核存在类傅里叶的 Hilbert 基的假设下,存在测地线路径。当 $T=\sigma$ 且 $M=\{0,1\}^\mathbb{N}$ 时,该基存在。另一方面,我们也考虑一对平衡概率的 KL 散度 $D_{KL}(\mu_1,\mu_2)$。若 $D_{KL}(\mu_1,\mu_2)=0$,则 $\mu_1=\mu_2$。尽管 $D_{KL}$ 不是 $\mathcal{N}$ 上的度量,它描述了 $\mu_1$ 与 $\mu_2$ 之间的接近程度。一个自然的问题是:对固定的概率 $\mu_1\in \mathcal{N}$,考虑 $\mathcal{N}$ 中某凸概率集中的概率 $\mu_2$,使 $D_{KL}(\mu_1,\mu_2)$ 最小化。该极小化问题是信息投影中主要问题的动力学版本。我们在 $\mathcal{N}$ 中考虑此问题,这是所有概率均为动力学不变的情形,并给出所求解的显式方程。三角不等式与勾股不等式将被研究。