tau 方法的极端情况：在超立方体上对称施加边界条件

多项式谱方法为广泛的一维有界 PDE 产生了快速、准确且灵活的求解器，其中通用边界条件的纳入已被充分理解。然而，由于在共享边和角处施加边界条件的困难，将扩展自动化到多维有界域具有挑战性。过去的工作包含了各种变通方法，例如在共享边处各向异性地包含部分边界数据，或仅适用于特定边界条件的方法。在此，我们提出了一个在超立方体上为椭圆方程施加边界条件的通用系统。我们采用基于广义 tau 方法的方法，该方法允许许多不同的谱方案适用广泛的边界条件。广义 tau 方法具有明显的优势，即指定的多项式残差决定了精确的代数解；此后，任何稳定的数值方案都将找到相同的结果。因此，我们可以在 tau 框架内提供与传统配点和 Galerkin 方法的逐一比较。作为基本要求，除了体 PDE 之外，我们还向边界条件添加了特定的 tau 校正，从而在共享子曲面处产生一组唯一的相容边界数据。我们的方法适用于在相交子曲面上交换的通用边界条件，包括所有边界上的 Dirichlet、Neumann、Robin 以及它们的任意组合。边界 tau 校正可以做成超八面体对称的，并轻松纳入现有求解器。我们针对二维和三维的 Poisson 方程显式地介绍了该方法，并描述了其向任意维度任意椭圆方程（例如双调和方程）的扩展。