坐标wise Armijo条件：一般情形

设 $z=(x,y)$ 为乘积空间 $\mathbb{R}^{m_1}\times \mathbb{R}^{m_2}$ 的坐标。设 $f:\mathbb{R}^{m_1}\times \mathbb{R}^{m_2}\rightarrow \mathbb{R}$ 为 $C^1$ 函数，其梯度为 $\nabla f=(\partial _xf,\partial _yf)$。固定 $0<\alpha <1$。对于点 $(x,y) \in \mathbb{R}^{m_1}\times \mathbb{R}^{m_2}$，若以下不等式成立，则数 $\delta >0$ 在 $(x,y)$ 处满足 Armijo 条件：\begin{eqnarray*} f(x-\delta \partial _xf,y-\delta \partial _yf)-f(x,y)\leq -\alpha \delta (||\partial _xf||^2+||\partial _yf||^2). \end{eqnarray*} 在先前一篇论文中，我们提出了如下的{\bf 坐标wise} Armijo 条件。再次固定 $0<\alpha <1$。若以下不等式成立，则一对正数 $\delta _1,\delta _2>0$ 在 $(x,y)$ 处满足 Armijo 条件的坐标wise变体：\begin{eqnarray*} [f(x-\delta _1\partial _xf(x,y), y-\delta _2\partial _y f(x,y))]-[f(x,y)]\leq -\alpha (\delta _1||\partial _xf(x,y)||^2+\delta _2||\partial _yf(x,y)||^2). \end{eqnarray*} 此前我们将此条件应用于形如 $f(x,y)=f(x)+g(y)$ 的函数，并证明了相应的多种收敛结果。对于一般函数，为了能够进行实际计算，关键在于拥有一个系统性的算法来获取满足坐标wise版 Armijo 条件的 $\delta _1$ 和 $\delta _2$，正如通常 Armijo 条件所对应的回溯法（Backtracking）那样。本文提出这样一种算法，并证明相应的收敛结果。随后我们针对若干函数（如 Asl 与 Overton 结合 Wolfe 方法给出的 $f(x,y)=a|x|+y$、$f(x,y)=x^3 sin (1/x) + y^3 sin(1/y)$ 以及 Rosenbrock 函数）进行分析并给出实验结果。